Algèbre linéaire Exemples

det

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 2 & 1 3 & 4 & 5 3 & 7 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{array}]$

Étape 1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

0

$0$ . S’il n’y a aucun élément

0

$0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne

1

$1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

-

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.3

Le mineur pour

a_{11}

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 1.4

Multipliez l’élément

a_{11}

$a_{11}$ par son cofacteur.

3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 7 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 1.5

Le mineur pour

a_{12}

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

2

$2$ sont supprimées.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Étape 1.6

Multipliez l’élément

a_{12}

$a_{12}$ par son cofacteur.

- 2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 5 3 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$

Étape 1.7

Le mineur pour

a_{13}

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

3

$3$ sont supprimées.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 1.8

Multipliez l’élément

a_{13}

$a_{13}$ par son cofacteur.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 4 3 & 7 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 1.9

Additionnez les termes entre eux.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

$4$ par

$8$ .

$3 (32 - 7 \cdot 5) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$- 7$ par

$5$ .

$3 (32 - 35) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez

$35$ de

$32$ .

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 3 & 8 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (3 \cdot 8 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$8$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 3 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (24 - 15) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez

$15$ de

$24$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 7 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (3 \cdot 7 - 3 \cdot 4)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$7$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 3 \cdot 4)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$4$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 (21 - 12)$

Étape 4.2.2

Soustrayez

$12$ de

$21$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez

$3$ par

$- 3$ .

$- 9 - 2 \cdot 9 + 1 \cdot 9$

Étape 5.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$9$ .

$- 9 - 18 + 1 \cdot 9$

Étape 5.1.3

Multipliez

$9$ par

$1$ .

$- 9 - 18 + 9$

Étape 5.2

Soustrayez

$18$ de

$- 9$ .

$- 27 + 9$

Étape 5.3

Additionnez

$- 27$ et

$9$ .

$- 18$